Gleichung/Umformungsprinzip/Nicht injektiv/Bemerkung

Es sei eine Gleichung der Form

${}f(x)=g(x)\,$

gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit ${}0$, die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf ${}0$ abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist

${}0\cdot f(x)=0\cdot g(x)\,,$

also einfach

${}0=0\,.$

Diese Gleichung wird natürlich von jedem ${}x$ erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag.

Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu

${}(f(x))^{2}=(g(x))^{2}\,$

über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung

${}x=3\,$

hat offenbar die einzige Lösung

${}x=3\,,$

dagegen hat die quadrierte Gleichung

${}x^{2}=9\,$

die beiden Lösungen

${}x=3,-3\,.$