Gleichungssystem/Inhomogen/15/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}w$ , indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren. Dies führt auf

{\begin{matrix}6x&+y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&0\\13x&+9y&-5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&7\,.\end{matrix}}

Nun eliminieren wir die Variable ${}y$ , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}-II+I$ und ${}-9II+III$ ausrechnen. Dies führt auf

{\begin{matrix}5x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&7\,.\end{matrix}}

Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert

{}8x=-17\,

und

{}x=-{\frac {17}{8}}\,.

Rückwärts gelesen ergibt sich

{}z={\frac {31}{8}}\,,

{}y=6\,

und

{}w={\frac {9}{28}}\,.