Goldbach-Problem/Einführung/Textabschnitt

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Problem  

Gibt es für jede gerade natürliche Zahl Primzahlen und mit

Die Frage ist also, ob man jede gerade natürliche Zahl ab als Summe von zwei Primzahlen schreiben kann. Dies kann wahr oder falsch sein, diese Eigenschaft kann gelten oder nicht. Bisher ist es aber niemandem gelungen, diese Eigenschaft zu beweisen oder zu widerlegen. Man spricht von einem offenen Problem. Die sogenannte Goldbachsche Vermutung besagt, dass dieses Problem eine positive Antwort besitzt. Es ist eine treibende Kraft in der Mathematik, eine Vermutung zu bestätigen (zu beweisen) oder zu widerlegen.

Für jede gegebene gerade Zahl lässt sich in endlich vielen Schritten entscheiden, ob sie eine Summe von zwei Primzahlen ist. Dazu überprüft man einfach der Reihe nach für die ungeraden Zahlen , ob sie und der komplementäre Summand Primzahlen sind. Falls es ein solches Paar gibt, hat man die Goldbach-Eigenschaft für diese eine Zahl bestätigt. Für alle geraden Zahlen , für die diese Eigenschaft überprüft wurde, hat man stets solche Primsummanden gefunden. Inzwischen sind alle Zahlen bis zur Größenordnung überprüft. Zum Beispiel ist (es gibt im Allgemeinen mehrere Darstellungen)

Doch solche rechnerischen Ergebnisse sagen letztlich nichts über die Gültigkeit der Goldbachschen Vermutung aus, bei der es ja nicht darum geht, für möglichst viele und große Zahlen zu zeigen, dass die Goldbach-Eigenschaft gilt, sondern für alle.

Grundsätzlich gibt es mehrere Möglichkeiten, wie diese Frage beantwortet werden könnte. Der einfachste Fall wäre, wenn man eine konkrete gerade Zahl angibt und von dieser zeigt, dass sie nicht die Summe von zwei Primzahlen ist. Der Beweis dafür wäre dann eventuell sehr lang, man müsste alle möglichen Summanden überprüfen, aber ansonsten anspruchslos. Dann wäre die Goldbachsche Vermutung falsch. Es ist auch denkbar, dass man zeigt, dass es eine Zahl geben muss, die die Goldbach-Eigenschaft nicht erfüllt, ohne eine solche konkret anzugeben. Dann wäre die Goldbachsche Vermutung ebenfalls falsch, ein solcher Beweis könnte beliebig kompliziert sein. Oder man zeigt, das es für jede gerade Zahl eine Summendarstellung mit zwei Primzahlen geben muss, wobei ein solcher Beweis wieder beliebig kompliziert sein könnte und die Goldbachsche Vermutung beweisen würde. Oder man zeigt sogar, wie man zu einem jeden ein Primzahlsummandenpaar explizit berechnen kann.