Goldbach-Problem/Maschineller Zugang/Textabschnitt

Betrachten wir das Goldbach-Problem und nehmen wir für einen Moment an, dass die Goldbachsche Vermutung nicht stimmt, dass es also eine gerade natürliche Zahl ${}\geq 4$ gibt, die nicht die Summe von zwei Primzahlen ist. Ein Computer, eine Rechenmaschine, nennen wir sie ${}M_{1}$, die der Reihe nach alle geraden Zahlen auf die Goldbach-Eigenschaft überprüft, wird früher oder später auch diese Zahl erreichen und feststellen, dass sie nicht diese Eigenschaft besitzt und wird damit die Vermutung widerlegen.

Nehmen wir nun an, dass die Goldbachsche Vermutung stimmt, und dass es dafür einen Beweis gibt, der in „normaler Sprache“ formuliert werden kann. Eine zweite Rechenmaschine ${}M_{2}$ drucke nach und nach alle möglichen Texte (in aufsteigender Länge) aus. Nehmen wir an, dass ${}M_{2}$ erkennen kann, ob ein Text aus sinnvollen Wörtern und Sätzen besteht, ob es sich um einen korrekten mathematischen Beweis handelt und ob dieser die Goldbachsche Vermutung beweist. Dann wird ${}M_{2}$ früher oder später einen Beweis für die Goldbachsche Vermutung ausgeben und dieses auch erkennen.

Da wir nicht wissen, ob die Goldbachsche Vermutung wahr ist oder nicht, kombinieren wir die beiden Maschinen zu einer einzigen Maschine ${}M$, die abwechselnd die ${}M_{1}$-Funktion und die ${}M_{2}$-Funktion ausführt. D.h., dass ${}M$ abwechselnd eine Zahl überprüft, ob sie der Goldbachschen Vermutung widerspricht, und sodann einen Text überprüft, ob er einen Beweis für die Goldbachsche Vermutung beinhaltet. Da die Goldbachsche Vermutung wahr oder falsch ist, wird früher oder später ${}M$ ein Gegenbeispiel oder einen Beweis finden und somit das Problem entscheiden. Vorausgesetzt, dass es für jede wahre Aussage einen (maschinell überprüfbaren) Beweis gibt.