Goldener Schnitt/Wurzelbedingung/Beispiel

Es sei eine Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$ gegeben. Ein Punkt $G$ auf der Strecke unterteilt die Strecke in zwei Teilstrecken. Wir suchen einen Punkt $G$, der die Eigenschaft besitzt, dass das Verhältnis der großen Teilstrecke zur kleinen Teilstrecke mit dem Verhältnis der Gesamtstrecke zur großen Teilstrecke übereinstimmt. Diese Eigenschaft definiert den sogenannten goldenen Schnitt. Wenn man mit der Einheitsstrecke von $0$ bis $1$ auf der Zahlengeraden arbeitet, so geht es um die Bedingung

$\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}.$

Diese Bedingung kann man zu

$1-x=x^2$

bzw.

$x^2+x-1=0$

umwandeln. Eine weitere Umformung führt auf

${(x+\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}-1=0$

bzw.

${(x+\frac{1}{2})}^2=\frac{5}{4},$

also

$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sim 0,6180339\dots .$

Da $\sqrt{5}$ irrational ist, ist auch die Zahl des Goldenen Schnitts irrational. Der Kehrwert dieser Zahl, also das Verhältnis von großer Strecke zu kleiner Strecke, ist übrigens

$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sim 1,6180339\dots .$

Es liegt also die Besonderheit vor, dass die Nachkommaziffern von $x$ und von $1/x$ übereinstimmen.