Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzelbedingung/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und  $K\subseteq L$  eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $\mathrm{\#}\left(D\right)$ enthalte $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass  $K\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung ist.

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