Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt/Beweis

Beweis

Seien  ${}r,s\in R_{({\mathfrak {p}})}$  Nichteinheiten. Dann ist  ${}r={\frac {a}{f}}$  und  ${}s={\frac {b}{g}}$  mit homogenen Elementen  ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$  und homogenen Elementen  ${}a,b\in R$,  die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist  ${}a,b\in {\mathfrak {p}}$,  da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist  ${}ag+bf\in {\mathfrak {p}}$  und somit ist

${}{\frac {a}{f}}+{\frac {b}{g}}={\frac {ag+bf}{fg}}\,$

ebenfalls eine Nichteinheit in ${}R_{({\mathfrak {p}})}$.

Zur bewiesenen Aussage