Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Für ein Element  ${}f\in A_{0}$  und einen beliebigen Charakter ${}\chi$ ist offenbar

${}\chi f=\varphi _{\chi }(f)=\chi (0)f=f\,,$

sodass  ${}A_{0}\subseteq A^{G}$  ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements  ${}f\in A^{G}$  ebenfalls invariant. Sei  ${}f\in A_{d}\cap A^{G}$  und  ${}d\neq 0$.  Aufgrund der Voraussetzung über die Einheitswurzeln gibt es einen Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

mit  ${}\chi (d)\neq 1$.  Dann ist

${}\chi f=\varphi _{\chi }(f)=\chi (d)f\neq f\,,$

also sind solche Elemente nicht invariant.

Zur bewiesenen Aussage