Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Für ein Element ${}f\in A_{0}$ und einen beliebigen Charakter ${}\chi$ ist offenbar

${}\chi f=\varphi _{\chi }(f)=\chi (0)f=f\,,$

sodass ${}A_{0}\subseteq A^{G}$ ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements ${}f\in A^{G}$ ebenfalls invariant. Sei ${}f\in A_{d}\cap A^{G}$ und ${}d\neq 0$. Aufgrund der Voraussetzung über die Einheitswurzeln gibt es einen Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

mit ${}\chi (d)\neq 1$. Dann ist

${}\chi f=\varphi _{\chi }(f)=\chi (d)f\neq f\,,$

also sind solche Elemente nicht invariant.

Zur bewiesenen Aussage