Gramsche Matrix/3x3/Eigenwertkriterium/Typ/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x-7&0&0\\0&x-5&4\\0&4&x-2\end{pmatrix}}&=(x-7)((x-5)(x-2)-16)\\&=(x-7)(x^{2}-7x+10-16)\\&=(x-7)(x^{2}-7x-6).\end{aligned}}$

Das Polynom ${}x^{2}-7x-6$ hat an der Stelle ${}0$ einen negativen Wert, deshalb besitzt es eine positive und eine negative Nullstelle. Da ${}7$ eine weitere Nullstelle des charakteristische Polynoms ist, besitzt dieses ${}2$ positive und eine negative Nullstelle. Daher ist der Typ der Bilinearform gleich ${}(2,1)$.

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