Graph/3/Voll/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x&-1&-1\\-1&x&-1\\-1&-1&x\end{pmatrix}}&=x(x^{2}-1)-x-1-1-x\\&=x^{3}-3x-2.\end{aligned}}$

Dabei ist ${}x=-1$ eine Nullstelle, daher haben wir (Division mit Rest)

${}{\begin{aligned}x^{3}-3x-2&=(x+1)(x^{2}-x-2)\\&=(x+1)(x+1)(x-2)\\&=(x+1)^{2}(x-2).\end{aligned}}$

Somit ist ${}-1$ ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit ${}2$ und ${}2$ ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit ${}1$.

Der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}}$ ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}.$

Daher ist die geometrische Vielfachheit zu ${}-1$ ebenfalls ${}2$. Der Kern von ${}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}$ ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

und die geometrische Vielfachheit zu ${}2$ ist ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe