Graph/Adjazenzmatrix/Eigentheorie/Interpretation/Bemerkung

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Für einen Graphen liegt folgende Interpretation nahe: Ein Knotenpunkt ist der mögliche Aufenthaltsort eines Gerüchtes, einer Information, eines Virus. Wenn eine Kante zwischen zwei Punkten und besteht, so bedeutet dies, dass in einem bestimmten Zeitabschnitt das Gerücht von nach hinüber- oder zurückwechselt. Die Gesamtverteilung des Gerüchtes ist ein Spaltenvektor

der für jeden Punkt angibt, wie stark im Ort das Gerücht verbreitet ist. Der Gesamtübergang in dem erwähnten Zeitintervall wird dann durch Multiplikation der Adjazenzmatrix mit der Gesamtverteilung beschrieben. Wenn beispielsweise zu Beginn das Gerücht nur in einem Knotenpunkt mit der Stärke präsent ist, so ist es nach dem Zeitintervall in den zu benachbarten Knoten jeweils mit der Stärke präsent, und dies ist gerade der -te Spaltenvektor der Adjazenzmatrix (da wir ohne Schleifen arbeiten, vergisst man in diesem Modell das Gerücht, indem man es weitererzählt, es liegt eine gedächtnislose Weitergabe vor; man kann die Weitergabe auch abschwächen, wenn man die Adjazenzmatrix mit einem Faktor skaliert). Die Gerüchtverteilung nach Durchläufen zur Anfangsgerüchtverteilung wird dann durch beschrieben. Eine Eigenverteilung, also ein Eigenvektor der Adjazenzmatrix, ist durch die Eigenschaft gekennzeichnet, dass sich bei einem Durchlauf ein bestimmtes Vielfaches dieser Verteilung selbst ergibt. Der gemeinsame Faktor, der an jeder Stelle den Übergang beschreibt, ist der Eigenwert.