Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei die Kante, die wir herausnehmen. Sei der verkleinerte Graph. Wenn es in einen Hamiltonkreis gibt, in dem nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für . Sei also (alle beziehen sich auf )

mit ein Hamiltonkreis von . Wir betrachten die Mengen

und

Dabei ist (in der Definition von ) als zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf . Aufgrund der Voraussetzung über die Grade ( und sind nicht adjazent und ist so groß wie ) ist

Das Element gehört nicht zur Vereinigung , da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element

Es gibt also die Verbindungskanten und und somit den Hamiltonkreis

der ohne die Kante auskommt und daher ein Hamiltonkreis in ist.