Gravitation/Freier Fall im Vakuum/Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel

Ein Gegenstand der Masse ${}m$ wird im Vakuum aus einer Höhe ${}0$ zum Zeitpunkt ${}0$ losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden (freier Fall im Vakuum). Dabei wirkt auf den Körper die Gravitationskraft ${}gm$ (die Erdbeschleunigung ${}g$ nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an), die ihn nach dem Gesetz „Kraft ist Masse mal Beschleunigung“ beschleunigt. Die Beschleunigung ist also konstant und unabhängig von der Masse. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit ${}v(t)$ des Körpers die Differentialgleichung

${}v'(t)=-g\,$

erfüllt (die Wahl des Vorzeichens bewirkt, dass der Körper ins Negative fällt). Die durch die Anfangsbedingung (der Gegenstand ruhe zum Zeitpunkt ${}0$) ${}v(0)=0$ festgelegte Lösung für die Geschwindigkeit ist daher

${}v(t)=-gt\,.$

Der zurückgelegte Weg ${}y(t)$ des Körpers ergibt sich wiederum aus der Differentialgleichung

${}y'(t)=v(t)=-gt\,,$

die besagt, dass die Ableitung des Weges nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit beschreibt. Die Lösung davon ist

${}y(t)=-{\frac {g}{2}}t^{2}\,.$

Den Gesamtvorgang kann man durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-g\,$

ausdrücken.