Gravitation/Luftwiderstand/Stokes/Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel

Ein Gegenstand der Masse ${}m$ wird aus der Höhe losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden. Dabei wirkt auf den Körper einerseits die Gravitationskraft ${}gm$ (die Erdbeschleunigung ${}g$ nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an), die ihn beschleunigt, andererseits wird diese Beschleunigung durch den Luftwiderstand verringert. Nach einem physikalischen Gesetz ist die Reibung (bei relativ kleinen Geschwindigkeiten) proportional und entgegengesetzt zur Geschwindigkeit des Körpers. Es sei ${}\beta$ der Reibungswiderstand, also dieser Proportionalitätsfaktor. Die auf den Körper (nach unten) wirkende Gesamtkraft ist daher

${}F(t)=gm-\beta y'(t)\,.$

Wegen

${}y^{\prime \prime }(t)={\frac {F(t)}{m}}\,$

gilt daher für diesen Bewegungsvorgang die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-{\frac {\beta }{m}}y'+g\,.$

Wenn wir dies mit der Ableitungsfunktion ${}v=y'$ schreiben, so erhalten wir die Bedingung

${}v'=-{\frac {\beta }{m}}v+g\,,$

die nach Beispiel die Lösungen

${}v(t)=ce^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {gm}{\beta }}\,$

besitzt. Durch Intergration erhält man für die Differentialgleichung zweiter Ordnung die Lösungsfunktionen

${}y(t)=-c{\frac {m}{\beta }}e^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {gm}{\beta }}t+d\,$

mit beliebigen Konstanten ${}c,d\in \mathbb {R}$. Siehe auch Aufgabe.