Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Beweis
Beweis
Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
![{\displaystyle {}[x]+[y]=[x+y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bbf50af5c0045b26cbc85cdba33566831894de)
gegeben sein, was bereits die Eindeutigkeit sichert. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist
![{\displaystyle [x]=[x']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba92678b458db513337e2c34a4c42bd08006bf2)
![{\displaystyle [y]=[y']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b82abf5456418e955885962b2e60b224e8dd82a)
![{\displaystyle {}[x+y]=[x'+y']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dea9a5b0f5a1338903ce6cb9ddd56653dae2678)
und somit ist . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf und der Surjektivität der kanonischen Projektion folgen die Gruppeneigenschaften und die Homomorphieeigenschaft der Projektion.