Gruppe/Lösbarkeit/Zahlensystem/Bemerkung

Im Aufbau des Zahlensystems spielt das Bestreben eine wichtige Rolle, Gleichungen eines bestimmten Typs lösbar zu machen. So erklärt sich der Übergang von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {Z}$ dadurch, Gleichungen der Form

$a+x=b{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {N} ,$

lösen zu können, und der Übergang von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Q}$ dadurch, Gleichungen der Form

$ax=b{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z} ,\,a\neq 0,$

lösen zu können. Das entspricht dem Übergang vom Monoid ${}(\mathbb {N} ,0,+)$ zur Gruppe ${}(\mathbb {Z} ,0,+)$ und dem Übergang vom Monoid ${}(\mathbb {Z} \setminus \{0\},1,\cdot )$ zur Gruppe ${}(\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )$.