Gruppe/Potenzgesetze/Fakt

Potenzgesetze in einer Gruppe

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine Gruppe und seien  ${}a,b\in G$.  Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für  ${}m,n\in \mathbb {Z}$. 

1. Es ist

   ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a\,.$

2. Es ist  ${}a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^{n}$  das inverse Element zu ${}a^{n}$.

3. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

4. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen