Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des inversen Elementes/Beispiel

In einer Gruppe ist das inverse Element zu einem jeden Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei ${}e$ das neutrale Element der Gruppe, sei ${}x\in G$ vorgegeben und seien ${}y,z\in G$ inverse Elemente zu ${}x$, d.h. es gelte ${}yx=xy=e$ und ${}zx=xz=e$. Dann ist insgesamt

${}y=ye=y(xz)=(yx)z=ez=z\,.$

Die Eindeutigkeit des inversen Elementes kann man mit den Symbolen ${}\{e,\mu \}$, wobei ${}e$ eine Konstante und ${}\mu$ ein zweistelliges Funktionssymbol ist, als den Ausdruck

${}\alpha :=\forall x(\forall y(\forall z(\mu yx=e\wedge \mu xy=e\wedge \mu zx=e\wedge \mu xz=e\rightarrow y=z)))\,$

ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck ${}\alpha$ aus den Gruppenaxiomen ${}\Gamma$ folgt, also die Folgerungsbeziehung

$\Gamma \vDash \alpha$

vorliegt.