Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des neutralen Elementes/Beispiel

In einer Gruppe ist das neutrale Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei ${}e$ das neutrale Element der Gruppe, und sei ${}e'$ ein weiteres Element, das ebenfalls die Eigenschaft des neutralen Elements erfüllt, d.h. es gilt ${}e'x=xe'=x$ für alle ${}x\in G$. Dann gilt einerseits ${}e'=e'e$, da ${}e$ neutrales Element ist, und andererseits ${}e'e=e$, da auch ${}e'$ neutrales Element ist. Also ist insgesamt ${}e'=e'e=e$ und ${}e$ und ${}e'$ stimmen überein.

Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes kann man als den Ausdruck

$\alpha :=\forall z(\forall x(zx=x\wedge xz=x)\rightarrow z=e)$

ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck ${}\alpha$ aus den Gruppenaxiomen ${}\Gamma$ folgt, also die Folgerungsbeziehung

$\Gamma \vDash \alpha$

vorliegt.