Gruppenhomomorphismen/Q nach Z/Bestimme/Aufgabe/Kommentar

Dies ist ein Spezialfall von Aufgabe und geht ähnlich. Man muss zeigen, dass jeder Gruppenhomomorphismus

\psi \colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)

die triviale Abbildung ist, d.h. ${}\psi (a)=0$ für alle ${}a\in \mathbb {Q}$ . Die Grundidee ist einfach. Nehmen wir an, dass

{}\psi (a)\neq 0\,

ist, wobei ${}a$ eine rationale Zahl ist. Innerhalb der rationalen Zahlen kann man beliebig dividieren, insbesondere kann man halbieren. Es ist

{}a={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\,

und somit gilt

{}\psi (a)=\psi {\left({\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\right)}=\psi {\left({\frac {a}{2}}\right)}+\psi {\left({\frac {a}{2}}\right)}\,,

was bedeutet, dass man auch das Bild ${}\psi (a)$ in ${}\mathbb {Z}$ halbieren kann. SO kann man weitermachen und erhält, dass man ${}\psi (a)$ in ${}\mathbb {Z}$ durch ${}4$ , durch ${}8$ , durch ${}12$ ... teilen kann, was zu einem Widerspruch führt.

Hier kann man auch eine ähnliche Idee wie in Aufgabe verwenden: jeder solche Gruppenhomomorphismus ${}\psi$ ist durch ${}\psi (1)$ eindeutig festgelegt. In der Tat folgt durch Induktion, dass ${}\psi (na)=n\psi (a)$ für alle positive ganze Zahl ${}n$ und alle ${}a\in \mathbb {Q}$ . Wegen

0=\psi (0)=\psi (na)+\psi (-na),

erhält man ${}\psi (-na)=-\psi (na)=-n\psi (a)$ . Somit gilt ${}\psi (na)=n\psi (a)$ für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ und alle ${}a\in \mathbb {Q}$ . Insbesondere gilt für ${}a=1/n$ , dass ${}\psi (1)=n\psi (1/n)$ , also ${}\psi (1/n)=\psi (1)/n$ . Sei nun ein beliebiges ${}r=m/n\in \mathbb {Q}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Z}$ , ${}n\neq 0$ gegeben. Dann gilt

\psi (r)=\psi (m/n)=m\psi (1/n)=(m/n)\psi (1)=r\psi (1).

Daher kann ${}\psi$ durch ${}\psi (1)$ bestimmt werden.

Nun genügt es also zu zeigen, dass ${}\psi (1)=0$ . Dies folgt aus der Tatsache, dass ${}\psi (1)/n=\psi (1/n)\in \mathbb {Z}$ für alle ${}n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ .