Gruppenhomomorphismus/Z nach Z mod d/Direkt/Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Menge

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$

mit der in Aufgabe beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),$

die eine ganze Zahl ${}n$ auf ihren Rest bei Division durch ${}d$ abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich ${}m=ad+r$ und ${}n=bd+s$ mit ${}0\leq r,s<d$ gegeben, so ist

${}m+n=(a+b)d+r+s\,,$

wobei allerdings ${}r+s\geq d$ sein kann. In diesem Fall ist

${}\varphi (m+n)=r+s-d\,$

und das stimmt mit der Addition von ${}r$ und ${}s$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.