Gruppentheorie/Gruppe aus kubischer Struktur/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$*\colon M\times M\longrightarrow M,\,(P,Q)\longmapsto P*Q,$

die für alle Elemente ${}P,Q,R,S\in M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}P*Q=Q*P$
2. ${}(P*Q)*P=Q$
3. ${}((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R)$.

Es sei ${}{\mathfrak {O}}$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus ${}M$. (a) Zeige, dass die Verknüpfung

${}P+Q:=(P*Q)*{\mathfrak {O}}\,$

eine kommutative Gruppenstruktur auf ${}M$ mit ${}{\mathfrak {O}}$ als neutralem Element definiert.

(b) Es sei nun ${}{\mathfrak {O}}'$ ein zweites Element aus ${}M$. Zeige, dass die durch ${}{\mathfrak {O}}$ und durch ${}{\mathfrak {O}}'$ definierten Gruppen isomorph sind.

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