Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen

${}x-x=0\in H\,$

ist die Relation reflexiv. Mit  ${}x-y\in H$  ist auch  ${}y-x\in H$,  da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit  ${}x\sim _{H}y$  und  ${}y\sim _{H}z$,  also  ${}x-y,y-z\in H$,  ist auch

${}x-z=(x-y)+(y-z)\in H\,,$

da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch  ${}x\sim _{H}z$.  Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von ${}x$ mit ${}0$ bedeutet  ${}x-0=x\in H$,  sodass die letzte Aussage auch klar ist.

Zur bewiesenen Aussage