Es sei G {\displaystyle {}G} eine Gruppe mit Zentrum Z ( G ) {\displaystyle {}Z(G)} . Zeige:
a) G {\displaystyle {}G} ist genau dann abelsch, wenn G / Z ( G ) {\displaystyle {}G/Z(G)} zyklisch ist.
b) Der Index von Z ( G ) {\displaystyle {}Z(G)} in G {\displaystyle {}G} ist keine Primzahl.
c) Ist G {\displaystyle {}G} von der Ordnung p q {\displaystyle {}pq} für zwei Primzahlen p {\displaystyle {}p} und q {\displaystyle {}q} , so ist G {\displaystyle {}G} abelsch oder Z ( G ) {\displaystyle {}Z(G)} trivial.
