Beweis
Betrachte die Nebenklassen
-
für sämtliche
.
Es ist eine Bijektion zwischen
und , so dass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Haben zwei Nebenklassen ein Element gemeinsam, etwa
,
so sind die Nebenklassen sogar gleich:
-
Da schließlich die Nebenklassen ganz überdecken, werden in endlich viele -elementige Teilmengen zerlegt, so dass ein Vielfaches von ist.
Die zweite Aussage des Satzes ist eine einfache Folgerung der ersten, da die von erzeugte Untergruppe gerade die Kardinalität besitzt.