Wir bestimmen die
Richtungsableitung
zur Funktion
-
in Richtung
.
Zu einem Punkt
müssen wir die Funktion
-
nach
im Nullpunkt ableiten. Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}p(t)&=f(P+tv)\\&=(x+4t)^{2}-(x+4t)(y-t)-(y-t)^{3}\\&=x^{2}+8xt+16t^{2}-xy-4ty+xt+4t^{2}-y^{3}+3y^{2}t-3yt^{2}+t^{3}\\&=x^{2}-xy-y^{3}+9xt-4ty+3y^{2}t+20t^{2}-3yt^{2}+t^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599ecbafda92fd142fcd5514f70a41e64d425a27)
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
-
![{\displaystyle {}p'(0)=9x-4y+3y^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebb13dfd19c92be82b82c1461faf7d043a90ab2)
also ist
-
![{\displaystyle {}g(x,y):=(D_{v}f)(x,y)=9x-4y+3y^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b5875ce2aab392d842f202103325d11df3a074)
Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung
ausrechnen. Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}q(t)&:=g(P+tu)\\&=9(x+2t)-4(y-3t)+3(y-3t)^{2}\\&=9x-4y+3y^{2}+18t+12t-18yt+27t^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f2ce9384e8fd68fffc6290646748d8ed143bb0)
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
-
![{\displaystyle {}q'(0)=30-18y\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6143a802228df1d6d0a0207082099ea6198efa14)
also ist
-
![{\displaystyle {}(D_{u}g)(x,y)=(D_{u}(D_{v}f))(x,y)=30-18y\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20446d67d7710a3e5c399ba37299f06ca6c69e83)