Höhere Richtungsableitung/x^2-xy-y^3/Zuerst (4,-1), dann (2,-3)/Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$

in Richtung ${}v=\left(4,\,-1\right)$. Zu einem Punkt ${}P=(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ müssen wir die Funktion

$p\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(P+tv),$

nach ${}t$ im Nullpunkt ableiten. Es ist

${}{\begin{aligned}p(t)&=f(P+tv)\\&=(x+4t)^{2}-(x+4t)(y-t)-(y-t)^{3}\\&=x^{2}+8xt+16t^{2}-xy-4ty+xt+4t^{2}-y^{3}+3y^{2}t-3yt^{2}+t^{3}\\&=x^{2}-xy-y^{3}+9xt-4ty+3y^{2}t+20t^{2}-3yt^{2}+t^{3}.\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}p'(0)=9x-4y+3y^{2}\,,$

also ist

${}g(x,y):=(D_{v}f)(x,y)=9x-4y+3y^{2}\,.$

Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung ${}u=\left(2,\,-3\right)$ ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}q(t)&:=g(P+tu)\\&=9(x+2t)-4(y-3t)+3(y-3t)^{2}\\&=9x-4y+3y^{2}+18t+12t-18yt+27t^{2}.\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}q'(0)=30-18y\,,$

also ist

${}(D_{u}g)(x,y)=(D_{u}(D_{v}f))(x,y)=30-18y\,.$