Harmonische Reihe/Berechnung/Abbruch/Aufgabe/Lösung

1. Die ${}8$.te Nachkommastelle bezieht sich auf ${}10^{-8}$. Die Bedingung, dass sich innerhalb einer Stunde, also bei ${}3600$ Aufsummierungen, an dieser Stelle nichts ändert, führt zu der Bedingung

   ${}\sum _{n=k}^{k+3599}{\frac {1}{n}}<10^{-8}\,$

   für ${}k$, und zwar suchen wir das kleinste ${}k$ mit dieser Eigenschaft. In dieser Größenordnung ist der Unterschied zwischen ${}{\frac {1}{k}}$ und ${}{\frac {1}{k+3599}}$ vernachlässigbar und wir können die Bedingung als Gleichung ansetzen. Dies führt auf die Bedingung

   ${}3600{\frac {1}{k}}=10^{-8}\,$

   bzw.

   ${}k=3600\cdot 10^{8}=3,6\cdot 10^{11}\,,$

   also ${}360$ Milliarden. Das letzte aufaddierte Glied ist also ungefähr ${}{\frac {1}{3,6\cdot 10^{11}}}$.

2. Es handelt sich um die divergente harmonische Reihe, die Strategie ist also sinnlos.

Zur gelösten Aufgabe