Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt/Beweis2

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Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach dem Lemma stets irreduzibel. Sei also umgekehrt irreduzibel, und nehmen wir an, dass das Produkt teilt, sagen wir . Nehmen wir an, dass kein Vielfaches von ist. Dann sind aber und teilerfremd, da eine echte Inklusionskette der Irreduzibilität von widerspricht. Also gibt es Elemente mit . Damit ist

und der zweite Faktor ist ein Vielfaches von .