Hauptidealbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei ${}A$ ein Hauptidealbereich und ${}{\mathfrak {m}}\subseteq A$ ein maximales Ideal. Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein Primelement, sagen wir ${}{\mathfrak {m}}=(p)$, erzeugt. Die Lokalisierung

${}R=A_{\mathfrak {m}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in A,\,g\not \in {\mathfrak {m}}\right\}}\,$

ist nach Fakt ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}$, das ebenfalls von ${}p$ erzeugt wird. Alle Primelemente ${}q\in A$, die nicht zu ${}p$ assoziiert sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Für ${}A=\mathbb {Z}$ und eine Primzahl ${}p$ ist ${}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq \mathbb {Q}$ der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von ${}p$ sind.