Hauptidealbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

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Es sei ein Hauptidealbereich und ein maximales Ideal. Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein Primelement, sagen wir , erzeugt. Die Lokalisierung

ist nach Fakt ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal , das ebenfalls von erzeugt wird. Alle Primelemente , die nicht zu assoziiert sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Für und eine Primzahl ist der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von sind.