Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.$

Die transformierte Basis ist ${}u'=au+bv$ und ${}v'=cu+dv$. In ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$ gelten dann die Beziehungen

${}[{\frac {u'}{N}}]=a[{\frac {u}{N}}]+b[{\frac {v}{N}}]\,$

und

${}[{\frac {v'}{N}}]=c[{\frac {u}{N}}]+d[{\frac {v}{N}}]\,.$

Dies ist eine Identität im ${}\mathbb {Z} /(N)$-Modul

${}\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}\cong \mathbb {Z} /(N)\times \mathbb {Z} /(N)\,,$

daher können wir die Zahlen ${}a,b,c,d$ modulo ${}N$ nehmen. Die Gleichheit der Basen bedeutet dann einfach, dass modulo ${}N$ die Gleichheiten ${}a=d=1$ und ${}b=c=0$ vorliegen. Dies bedeutet ${}M\in \Gamma (N)$.

Zur bewiesenen Aussage