Beweis
Es sei
-
![{\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dffd2fee0025bb36e9e6155d297ca4543a7bc0a)
Die transformierte Basis ist
und
.
In
gelten dann die Beziehungen
-
![{\displaystyle {}[{\frac {u'}{N}}]=a[{\frac {u}{N}}]+b[{\frac {v}{N}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcf5c36a32f7d41e901e75915316cb40e5db588)
und
-
![{\displaystyle {}[{\frac {v'}{N}}]=c[{\frac {u}{N}}]+d[{\frac {v}{N}}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bbed9284fcd48b4c4ed80a250ff588a30a8762c)
Dies ist eine Identität im
-Modul
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}\cong \mathbb {Z} /(N)\times \mathbb {Z} /(N)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3af509bb8675695f68729f6a3105f5d147cd8a4)
daher können wir die Zahlen
modulo
nehmen. Die Gleichheit der Basen bedeutet dann einfach, dass modulo
die Gleichheiten
und
vorliegen. Dies bedeutet
.