Hauptteilmodul/Symmetrische Potenz/Differentialformen/Natürliche Abbildung/Fakt

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra, es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ mit den zugehörigen Differentialen ${}df_{i}$.

Dann wird unter der natürlichen Abbildung

$\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}$

das symmetrische Produkt ${}df_{1}\cdots df_{n}$ auf

${}(f_{1}\otimes 1-1\otimes f_{1})(f_{2}\otimes 1-1\otimes f_{2})\cdots (f_{n}\otimes 1-1\otimes f_{n})=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\otimes {\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\,$

abgebildet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen