Holger Brenner/Forschung/Übersicht

Mein Arbeitsgebiet ist die algebraische Geometrie und die kommutative Algebra. In den letzten Jahren habe ich hauptsächlich an einer geometrischen Interpretation des tight closure (straffer Abschluss) und der Hilbert-Kunz Theorie gearbeitet, um die reichen Methoden der algebraischen Geometrie, insbesondere die Theorie der Vektorbündel, darauf anwenden zu können. Dabei ergaben sich wechselseitige Beziehungen und neuartige Übersetzungsmöglichkeiten von Problemstellungen, insbesondere zwischen Stabilitätsfragen, Eigenschaften von Syzygienbündeln, Verhalten von Bündeln und Torsoren unter algebraischen und geometrischen Deformationen, Varianz der kohomologischen Dimension.

Dieser Ansatz führte zu einer negativen Lösung des Lokalisierungsproblems (2008, gemeinsam mit Paul Monsky) und zum Rationalitätsbeweis für die Hilbert-Kunz Multiplizität in der Dimension zwei und zur Äquivalenz von tight closure und plus closure in Dimension zwei über einem endlichen Körper. 2013 konnte ich ein Beispiel konstruieren, bei dem die Hilbert-Kunz Multiplizität eine irrationale Zahl ist und damit eine Vermutung von Monsky widerlegen. Ein zweiter Arbeitsschwerpunkt ist die Verknüpfung von nicht-flachen Grothendieck-Topologien mit Abschlussoperationen von Idealen. Ein dritter Arbeitsschwerpunkt ist die kombinatorische kommutative Algebra, wo ich mich der Entwicklung des Binoidkonzeptes widme.