Holger Brenner/Forschung/Binoide
Die kombinatorische kommutative Algebra beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen kombinatorischen Strukturen wie Graphen, Polytopen, polyedrischen Kegeln, simplizialen Komplexen und zugehörigen kommutativen Ringen. Zu einem Monoid, das typischerweise als Durchschnitt eines Kegels und einem Gitter gegeben ist, gehört der Monoidring, die selbst die algebraischen Bausteine der torischen Geometrie sind, und zu einem simplizialen Komplex gehören die Stanley-Reisner-Ringe. Diese Beziehung ermöglicht einerseits, mit Methoden der kommutativen Algebra kombinatorische Objekte zu verstehen, andererseits, ringtheoretische Vermutungen an speziellen Ringen mit diskreten Methoden zu überprüfen. Eine einheitliches Konzept, das diese beiden Beziehungen umfasst, wird durch den Binoidbegriff bereitgestellt, den ich mit drei Doktoranden im Rahmen des Graduiertenkollegs „Kombinatorische Strukturen in der Geometrie“ entwickle.
Ein Binoid ist ein Monoid, das zusätzlich ein absorbierendes Element enthält, welches auf der Ringseite als zu interpretieren ist. Dies ermöglicht, Nullteilerbeziehungen auf Binoidebene zu formulieren. Ein simplizialer Komplex liefert in naheliegender Weise ein simpliziales Binoid, dessen Binoidring der Stanley-Reisner Ring ist. Die Vorteile des Binoidskonzepts liegen neben dieser Vereinheitlichung in den folgenden Punkten: Die Restklassenbildung lässt sich problemlos durchführen. Dies ermöglicht die Definition der Hilbert-Funktion und der Hilbert-Kunz-Funktion auf kombinatorischer Ebene. Das Studium von nichtreduzierten, infinitesimalen kombinatorischen Objekten wird möglich. Das Spektrum und die -Spektra der zugehörigen Algebren lassen sich kombinatorisch beschreiben. Dabei kann man in der Binoidsprache wichtige Faktorisierungsfragen (Komponenten, Zusammenhang) beantworten, was einerseits die topologische Struktur der Spektren klärt und andererseits eine Anzahlformel über endlichen Körpern liefert. Die geometrisch-kombinatorischen Punkte hängen nur von der Booleanisierung ab und lassen sich durch ein rein kombinatorisches Spektrum erfassen. Eine Vielzahl von Konstruktionen (Moduln, Tensorprodukt, Symmetrische Potenzen, Lokalisierung, Graduierung) lassen sich für Binoide einführen und vereinheitlichen verschiedene frühere Ansätze.
Neben den wichtigen Grundlagenfragen, die inzwischen weitgehend geklärt sind, geht es in spezielleren Teilprojekten um den Rationalitätsbeweis für die kombinatorische Hilbert-Kunz-Multiplizität, das Beschreiben der invertierbaren Objekte (Picard-Gruppe, Divisorenklassengruppe) und die Beziehung zur -Theorie.
