Holger Brenner/Forschung/Grothendieck-Topologien und Abschlussoperationen

Die Grundidee bei diesem umfassenden Forschungsprojekt ist, Abschlussoperationen zu Idealen wie den integralen Abschluss, das Radikal, den straffen Abschluss mit seinen Varianten (para)solid closure und dagger closure, die Torsion oder den stetigen Abschluss mit Hilfe von nicht-flachen (bzw. nicht-reinen) Grothendieck-Topologien zu studieren. Die erzwingenden Algebren ergeben dabei die erlaubten Umgebungen bzw. Überdeckungen, für den integralen Abschluss etwa sind das die (Zariski)-Submersionen (diesen Teil arbeite ich zusammen mit Manuel Blickle (Universität Mainz) aus).

Der Ideal-Abschluss entspricht dabei der Vergarbung einer Prägarbe in der entsprechenden Topologie. Dieser Zusammenhang erlaubt die Anwendung eines weit entwickelten Apparates und liefert beispielsweise sofort einen Exaktheitsbegriff, neue globale Schnittringe (etwa die Seminormalisierung oder den perfekten Abschluss) und eine Kohomologietheorie, wobei eben auch kohärente Garben auf affinen Schemata nicht-triviale Kohomologie haben können. Die Halme in der straffen Topologie etwa sollen sogenannte big Cohen-Macaulay Algebren sein („Hochsterisierung“), so wie in der étalen Topologie die Henselisierungen als Halme auftreten. Einige der Topologien, die hier in Zusammenhang mit dem integralen Abschluss auftreten, spielen auch in den Arbeiten von Suslin und Voevodsky zur Homologie von Schemata eine wichtige Rolle.