Holger Brenner/Forschung/Lefschetz-Eigenschaften

Bei der schwachen Lefschetz-Eigenschaft einer graduierten artinschen ${}K$-Algebra geht es darum, ob die Multiplikation mit einer generischen Linearform maximalen Rang besitzt. Das Interesse an dieser Eigenschaft beruht auf den Zusammenhang zur Fröberg-Vermutung. In einer gemeinsamen Arbeit mit Kaid wurde eine geometrische Interpretation (auf dem ${}{\mathbb {P} }^{2}$) für diese Eigenschaft gefunden, die mit dem generischen Spaltungstyp der Einschränkung von Syzygienbündel arbeitet. Mit dieser Interpretation ergeben sich einerseits durch den Satz von Grauert-Mülich-Spindler direkt positive Resultate, andererseits konnten wir ein monomiales Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Migliore, Miró-Roig, Nagel geben. Ferner konnten wir in einer weiteren Arbeit eine Vermutung von Li und Zanello bestätigen. Eine wichtige offene Frage betrifft die Lefschetz-Eigenschaft von Gorenstein-Algebren in Kodimension ${}3$.