Holger Brenner/Forschung/Parasolid closure

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Die Theorie des straffen Abschlusses kann durch Reduktion zu positiver Charakteristik auch auf Ringe übertragen werden, die einen Körper der Charakteristik null enthalten. Ein Problem besteht darin, eine charakteristik-freie Definition zu entwickeln, die auch in gemischter Charakteristik (im arithmetischen Fall) eine solche Theorie liefert. Dies würde eine lange Reihe von homologischen Vermutungen erledigen. In diesem Kontext habe ich eine Abschlussoperation vorgeschlagen, den so genannten parasoliden Abschluss, die auf Reduktion zu positiver Charakteristik verzichtet. Im gleichcharakteristischen Fall besitzt diese Operation alle gewünschten Eigenschaften, insbesondere sind für diese Operation - im Gegensatz zum solid closure von Hochster - alle Ideale in einem regulären Ring abgeschlossen. In gemischter Charakteristik sind aber noch viele Fragen offen.

Über den komplexen Zahlen ist es eine wichtige Frage, ob und wie man den Abschluss komplex-analytisch erfassen kann, mit der Perspektive, die Analogie zwischen Frobenius-Methoden in positiver Charakteristik und -Methoden in komplexer Analysis weiter zu klären. Bisher ist diese Analogie nur insofern verstanden, dass das Testideal des straffen Abschlusses mit dem Multiplier-Ideal übereinstimmt, während für den Abschluss selbst noch keine Entsprechung gefunden wurde. Hier gibt es einige Ansätze, über kohomologische Eigenschaften der Singularitätenauflösung eine Abschlussoperation einzuführen bzw. sogar eine „tight topology“ (eine Grothendieck-Topologie, die tight closure induziert) einzuführen.