Holger Brenner/Forschung/Stetige Abschluss

Der Ausgangspunkt für diesen Forschungsschwerpunkt war die einfache Fragestellung ist, wann es für gegebene Polynome

${}f_{1},...,f_{n}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{m}]\,$

und einem weiteren Polynom ${}f$ stetige Funktionen

$q_{1},...,q_{n}\colon {\mathbb {C} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

gibt mit

$f=q_{1}f_{1}+...+q_{n}f_{n}.$

Dies führt zum Begriff des stetigen Abschlusses eines Ideals in einer endlich erzeugten komplexen Algebra. Eine notwendige Bedingung dafür ist, dass ${}f$ zum Radikal

(und auch zum integralen Abschluss) des von den ${}f_{i}$ erzeugten Ideals liegt. Beispielsweise ist ${}x^{2}y^{2}\in (x^{3},y^{3})^{c}$, aber ${}xy\not \in (x^{2},y^{2})^{c}$. Über den Mechanismus mit erzwingenden Algebren und Grothendieck-Topologien erhält man sofort auch einen stetigen Abschluss für Untermoduln.

Ein Leitfrage für den stetigen Abschluss ist hierbei das Problem, ob es eine algebraische Charakterisierung dazu gibt, mit der man unabhängig von dem gewählten Grundkörper ${}{\mathbb {C} }$ arbeiten kann. Ein Ansatz dazu ist der sogenannte Axen-Abschluss, mit dem ich weitreichende Kriterien angeben konnte und der im Falle eines primären monomialen Ideales eine vollständige kombinatorische Charakterisierung ermöglichte. Dieser Ansatz wurde von Hochster und Epstein aufgegriffen und führte zu einer entsprechenden Charakterisierung fü primäre Ideale, aber auch zu einem Gegenbeispiel für nicht primäre Ideale. Ein neuartiger Ansatz zur algebraischen Charakterisierung, der mit Aufblasungen arbeitet, wurde kürzlich von J. Kollar gefunden.