Holger Brenner/Forschung/Tight closure/Deformationen

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Die Beziehung zwischen Vektorbündeln und tight closure spiegelt sich auch darin wieder, dass es auf beiden Seiten analoge Fragestellungen zum arithmetischen Verhalten gibt, wenn man also die Primcharakteristik variiert. So konnte ich durch ein Beispiel zeigen, dass ein Bündel über einer glatten projektiven Kurve in Charakteristik null semistabil ist, dass aber das Bündel für unendlich viele Primzahlcharakteristiken nicht stark semistabil ist, ja sogar, dass die Dichte der Primzahlen mit stark semistabiler Reduktion beliebig nah an null ist, unter der Bedingung, dass es unendlich viele Sophie Germain Primzahlen gibt. Dies beantwortet ein Problem von Miyaoka und Shepherd-Barron. Eine Weiterentwicklung dieser Beispielklasse führte auch zu einer negativen Antwort (gemeinsam mit M. Katzman) zu einer Frage von Hochster und Huneke über das arithmetische Verhalten von tight closure. Dies liefert zugleich ein Beispiel dafür, dass die kohomologische Dimension von Schemata in einer arithmetischen Deformation zwischen und fluktuieren kann.

Verwandt mit diesem Problemkreis ist die Fragestellung, inwiefern ein Bündel einen Frobenius-Abstieg zulässt und wie sich diese Eigenschaft in einer arithmetischen Familie verhält. Hier konnte in einer gemeinsamen Arbeit mit Kaid eine Frage von Joshi negativ beantwortet werden.

Unter geometrischen Deformationen (also fixierte Charakteristik, Variation eines Kurvenparameters) können sich die Invarianten der Vektorbündel in analoger Weise sprunghaft verhalten. In diesem Zusammenhang konnte ich in einer gemeinsamen Arbeit mit Monsky ein Gegenbeispiel zum Lokalisierungsproblem angeben. Mit geometrischen Deformationen beschäftigt sich auch eine Arbeit mit Stäbler, bei der neue Beispielklassen für generisch stark semistabile, aber speziell nicht stark semistabile Bündel etabliert wurden.