Holger Brenner/Forschung/Tight closure und geometrische Interpretation

Tight closure (straffer Abschluss) ist ein Gebiet der kommutativen Algebra, das seit 1986 von Mel Hochster und Craig Huneke entwickelt wurde und mit Hilfe des Frobenius-Endomorphismus in positiver Charakteristik definiert wird. Es handelt sich dabei um einen systematischen Zugang zur Beweistechnik „Reduktion zu positiver Charakteristik“. Es bestehen vielfältige Beziehungen zur Invariantentheorie, homologischen Algebra, der birationalen Geometrie und der Singularitätentheorie (rationale Singularitäten, Multiplikator-Ideale).

Formal gesehen ist zu einem Ideal ${}I$ in einem kommutativen Integritätsbereich ${}R$ der Charakteristik ${}p>0$ der tight closure durch

$I^{*}={\left\{f\in R\mid {\text{es gibt }}c\neq 0{\text{ mit }}cf^{q}\in I^{[q]}{\text{ für alle }}q=p^{e}\right\}},$

wobei ${}I^{[q]}$ das Erweiterungsideal unter dem ${}e$-ten Frobenius bezeichnet. In Charakteristik ${}0$ gelangt man durch Reduktion zu positiver Charakteristik ebenfalls zu einem entsprechenden Idealabschluss.

Für diese Theorie habe ich eine geometrische Interpretation entwickelt, die es erlaubt, die reichen Methoden der algebraischen Geometrie darauf anzuwenden, insbesondere Schnitttheorie, Bündel (Vektorbündel, projektive Bündel, Hauptfaserbündel), Garbenkohomologie und kohomologische Dimension, Stabilitätseigenschaften. Diese Methode hat insbesondere im Fall von zweidimensionalen graduierten Ringen (mit den zugehörigen projektiven Kurven) neue und neuartige Ergebnisse erbracht. Diese betreffen einerseits numerische Kriterien für den straffen Abschluss in Zusammenhang mit kohomologischen Verschwindungssätzen und andererseits die Frage nach der Übereinstimmung des straffen Abschlusses mit dem Plus-Abschluss und das Lokalisierungsproblem. Mit diesem Ansatz konnte in einer gemeinsamen Arbeit mit Paul Monsky letztlich gezeigt werden, dass tight closure ab der Dimension ${}3$ nicht mit Lokalisierung verträglich ist.

Für die Frage nach Gradschranken für den straffen Abschluss konnte ich im Zweidimensionalen für den straffen Abschluss eines homogen primären Ideals eine exakte numerische Formel angeben unter der Voraussetzung, dass das Syzygien-Bündel auf der projektiven Kurve stark semistabil ist. Im nicht stark semistabilen Fall gelangt man entlang der (starken) Harder-Narasimhan Filtration zu einem exakten numerischen Kriterium (siehe die Beschreibung von Karen Smith dieses Ansatzes). Im Höherdimensionalen liefert die geometrische Interpretation über die slopes des top-dimensionalen Syzygienbündels immerhin noch recht präzise Inklusionsschranken (aber keine exakte Charakterisierung).

Der Begriff des stark semistabilen Bündels hat in den letzten Jahren von verschiedenen Seiten großes Interesse gefunden, so in der Konstruktion von Modulräumen (Adrian Langer), in Zusammenhang mit ${}p$-adischen Darstellungen der algebraischen Fundamentalgruppe (Deninger, Werner), im Studium des Undefiniertheitsortes des Frobeniusrückzugs (u.a. Lange, Laszlo, Pauly).

Die Frage nach der Übereinstimmung von tight closure und plus closure (laut Hochster eine „tantalizing question“) übersetzt sich in dieser geometrischen Interpretation in eine Frage über die Übereinstimmung einer geometrischen und einer kohomologischen Charakterisierung. Im Zweidimensionalen ist dies die Frage, ob die Affinität eines Hauptfaserbündels (Torsors) zu einem Vektorbündel über einer projektiven Kurve äquivalent zur Nichtexistenz von projektiven Kurven in diesem Torsor ist. Über einer elliptischen Kurve kann dies mit Hilfe der Klassifikation von Atiyah gezeigt werden. Das gleiche gilt für eine beliebige glatte projektive Kurve unter der Bedingung, dass der Grundkörper der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers ist. Dieser Satz beruht auf der oben angesprochenen numerischen Charakterisierung des straffen Abschlusses, der Existenz der starken Harder-Narasimhan Filtration (Langer), der Periodizität von Frobenius-pull-backs im Modulraum über einem endlichen Körper, und der Trivialisierbarkeit von stark semistabilen Vektorbündeln vom Grad null in endlichen Überlagerungen (Lange-Stuhler).

In einer gemeinsamen Arbeit mit Paul Monsky gelang es 2007, ein Beispiel zu etablieren, das zeigt, dass über einem Körper mit transzendenten Elementen (nämlich ${}{\mathbb {F} }_{2}(t)$), der als generischer Körper einer geeigneten Familie realisiert wird, die Gleichheit zwischen tight closure und plus closure nicht gilt. In diesem Torsor über einer Kurvenfamilie ist die generische Faser nicht affin, aber alle speziellen Fasern sind affin. Die algebraische Realisierung dieses Beispiels führt zu einem dreidimensionalen Gegenbeispiel zur Lokalisierungsproblem.

In höheren Dimensionen bleiben noch viele Fragen offen, es zeichnet sich aber ab, dass verschiedene Reichhaltigkeitseigenschaften der höheren Syzygien-Bündel eine entscheidende Rolle spielen werden. In diesem Rahmen war auch das ESPRC-finanzierte zweijährige Drittmittelprojekt „Strongly semistable bundles and tight closure in higher dimensions“ angesiedelt, in dem ein Post-Doc (Frau Dr. Fischbacher-Weitz) von 2007-2009 angestellt war. Eines der Hauptergebnisse dabei war, dass unter hinreichend generischen Daten die Gradschranken für tight closure universell, d.h. unabhängig von den Ringen bzw. Varietäten sind, und dass diese mit den durch die Fröberg-Vermutung vorausgesagten Gradschranken im Polynomring nahezu übereinstimmen.

Die geometrische Interpretation ermöglichte ebenfalls (gemeinsame Arbeit mit Axel Stäbler), die Gleichheit von dagger closure und solid closure in Dimension zwei zu zeigen. Dabei wird der bewertungstheoretische dagger closure über das Seshadri-Kriterium für ample Geradenbündel mit dem kohomologischen solid closure in Verbindung gebracht. Es konnte auch gezeigt werden, dass der dagger closure für reguläre Ringe in beliebiger Dimension trivial ist.

Diese geometrische Interpretation hat auch Anwendungen in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Fragestellung, wann ein komplexer Raum Steinsch ist. So ergibt sich in natürlicher Weise eine Reihe von Gegenbeispielen zum sogenannten Hyperflächenproblem. Mit den dabei entwickelten Konstruktionsmethoden (erzwingende Algebren, Torsore) konnte ich auch einen neuen Kandidaten für ein Gegenbeispiel zu Zariskis Kürzungsproblem angeben. Dabei weiß man ${}X\times {\mathbb {A} }^{1}\cong {\mathbb {A} }^{5}$, aber nicht, ob ${}X$ ein ${}{\mathbb {A} }^{4}$ ist (bei der Russell-Kubik ist es genau umgekehrt).