Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt/Beweis2

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Beweis

Wir schreiben in den lokalen Koordinaten als Potenzreihe

mit holomorphen Funktionen mit . Die Matrix ist also symmetrisch und im Nullpunkt nichtausgeartet. Daher gibt es auch eine offene Umgebung des Nullpunktes, wo sie nicht ausgeartet ist. Für jede Matrix kann man zur Einheitsmatrix diagonalisieren.

Das Orthogonalisierungssverfahren liefert Linearformen mit

mit

Die explizite Beschreibung des Orthogonalisierungsverfahren sichert, dass die Abhängigkeit der Funktionen von holomorph ist. Daher kann man die als holomorphe Koordinaten nehmen.

Zur bewiesenen Aussage