Hospital/Differenzierbar im Innern/Lineare Approximation/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

{}f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)=f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\,

und

{}g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+s(x)(x-a)=g'(a)(x-a)+s(x)(x-a)\,

mit in ${}a$ stetigen Funktionen ${}r(x),s(x)$ , die dort den Wert ${}0$ haben. Dann ist (für ${}x\neq a$ )

{}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)}{g'(a)(x-a)+s(x)(x-a)}}={\frac {f'(a)+r(x)}{g'(a)+s(x)}}\,.

Wegen der Voraussetzung ${}g'(a)\neq 0$

konvergiert die rechte und damit auch die linke Seite für

{}x\rightarrow a

gegen

{}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}

.