Hyperbel/1 bis 2/Maximale dreistufige untere Treppenfunktion/Aufgabe/Lösung

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  1. Da streng fallend ist, besitzt die maximale untere Treppenfunktion auf jedem Teilintervall den Wert von an der oberen Intervallgrenze. Der Flächeninhalt der maximalen unteren Treppenfunktion zu

    ist also

  2. Es ist

    und

    Damit beide partiellen Ableitungen gleich sind, muss

    also und

    also sein. Dies ergibt für die Bedingung

    also, da ,

    und damit

    Der einzige kritische Punkt liegt also in

    vor.

    Die Hesse-Matrix ist

    Die Determinante ist

    Im kritischen Punkt ist dies wegen

    positiv. Also ist die Hesse-Form im kritischen Punkt negativ definit und somit liegt in diesem Punkt ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es der einzige kritische Punkt ist, und in Randpunkten kein Maximum vorliegt, da diese ja einer Unterteilung mit weniger Punkten entsprechen, liegt auch ein globales Maximum vor.

    Das Flächenintegral für diesen Punkt ist gleich