Hyperbelfunktionen/R/Einführung/Textabschnitt

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen

Definition

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Definition

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

${}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Der Kosinus hyperbolicus ${}a\cosh x/a$ (mit Parameter ${}a$) beschreibt eine sogenannte Kettenlinie, das ist diejenige Kurve, die ein durchhängendes Seil einnimmt.

Lemma

Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus besitzen die folgenden Eigenschaften.

1. ${}\cosh x+\sinh x=e^{x}\,.$

2. ${}\cosh x-\sinh x=e^{-x}\,.$

3. ${}(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=1\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Die Funktion Sinus hyperbolicus ist streng wachsend und die Funktion Kosinus hyperbolicus ist auf ${}\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend.

Beweis

Siehe Aufgabe und Aufgabe.

$\Box$

Definition

Die durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$

definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.