Hyperelliptische Gleichung/Reell/Schleife des Graphen/Holomorphes Differential/Fakt

Es sei  ${}f\in \mathbb {R} [Z]$  ein reelles Polynom vom Grad ${}\geq 3$ ohne mehrfache komplexe Nullstelle und sei  ${}V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$  die zugehörige riemannsche Fläche. Es seien  ${}a<b$  benachbarte reelle Nullstellen von ${}f$ mit  ${}f(x)\geq 0$  für  ${}x\in [a,b]$.  Es sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow V$ der geschlossene Weg, dessen ${}z$-Koordinate linear von ${}a$ nach ${}b$ und zurück läuft und dessen ${}w$-Koordinate zuerst die positive Wurzel und dann die negative Wurzel von ${}f$ durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{w}}>0\,.$

Insbesondere ist ${}\gamma$ nicht nullhomotop in ${}V$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen