Hyperfläche/Eingeschränkte Parameterpotenzen/Syzygien/Erste Kohomologieklasse/Bemerkung

Es sei

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,,$

wobei ${}X_{1},\ldots ,X_{n-1}$ Parameter in ${}R$ seien, und ${}I={\left(X_{1}^{a_{1}},\ldots ,X_{n}^{a_{n}}\right)}$. Ein Monom ${}X^{b_{1}}\cdots X^{b_{n}}$ wird auf ${}D(X_{i})$ repräsentiert durch

$\left(0,\,\ldots ,\,0,\,X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{i-1}^{b_{i-1}}X_{i}^{b_{i}-a_{i}}X_{i+1}^{b_{i+}}\cdots X_{n}^{b_{n}},\,0,\,\ldots ,\,0\right)$

und die erste Kohomologieklasse besteht aus den Differenzen auf ${}D(X_{i}X_{j})$. Bei ${}n=3$ wird die erste Kohomologieklasse repräsentiert durch

${}{\begin{aligned}\left(X^{b_{1}-a_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,0,\,0\right)-\left(0,\,X^{b_{1}}Y^{b_{2}-a_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right)&=\left(X^{b_{1}-a_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,-X^{b_{1}}Y^{b_{2}-a_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right)\\&={\frac {1}{X^{a_{1}}Y^{a_{2}}}}\left(X^{b_{1}}Y^{a_{2}+b_{2}}Z^{b_{3}},\,-X^{a_{1}+b_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right).\end{aligned}}$