Hyperfläche/Normalkrümmung/Berechnung/Fakt/Beweis

Beweis

Mit ${}v=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}$ ist unter Verwendung der Orthogonalität

{}{\begin{aligned}\kappa (v)&=\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},L_{P}{\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}v_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}