Hyperfläche/Projektiver Raum/Parameterpotenzen/Eingeschränkte Auflösung/Beispiel

Wir betrachten auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{3}$ eine Koszul-Auflösung der Form

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-4a)\longrightarrow \bigoplus _{4}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-3a)\longrightarrow \bigoplus _{6}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-2a)\longrightarrow \bigoplus _{4}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-a){\stackrel {X^{a},Y^{a},Z^{a},W^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}\longrightarrow 0$

und die eingeschränkte Auflösung (die nicht minimal ist) auf eine Hyperfläche ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}$ vom Grad ${}\delta$. Es ist ${}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{a},Z^{a},W^{a}\right)}(m)$ ampel und ${}p$-ampel für

${}m\geq 2a+1\,.$

Es sind ${}\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{1}$ und ${}\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{2}$ bis auf einen Twist dual zueinander. Der Grad von ${}\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{1}(m)$ ist ${}(3m-4a)\delta$, der Grad von ${}\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{2}(m)$ ist ${}(3m-8a)\delta$. Das wird effektiv bei

${}m\geq {\frac {8}{3}}a\,.$

Die Einschränkung des ersten Syzygienbündels auf eine projektive Gerade der Form ${}V_{+}(X-Y,Z-W)$ ist

${}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},X^{a},Z^{a},Z^{a}\right)}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-a)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-a)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-2a)\,.$