I endlich/Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe/Lösung

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Wenn injektiv ist, so ist auch bijektiv und damit eine Permutation, und die Aussage gilt nach Fakt allein mit Transpositionen. Sei also nicht injektiv und seien Elemente die beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Es sei die Abbildung, die und auf abbildet und ansonsten die Identität ist. Dann kann man

schreiben, wobei man setzt, wobei ein Element sei, das nicht zum Bild von gehört, und man ansonsten setzt - also insbesondere . Wenn ebenfalls nicht injektiv ist, so können wir mit entsprechenden Festsetzungen

schreiben. So machen wir Schritt für Schritt weiter. Da sich dabei bei jedem Schritt die Anzahl der Elemente im Bild von erhöht, erreichen wir schließlich die Situation

wobei bijektiv ist. Diese Bijektion können wir als Produkt von Transpositionen darstellen.
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