Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Idealklasse/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}=q{\mathfrak {b}}$ mit ${}q\in Q(A)$ bzw. ${}r{\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {b}}$ mit ${}r,s\in A$. Wir können dann direkt ${}r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$ mit ${}r\in A$ annehmen. Die Multiplikation mit der komplexen Zahl ${}r$ induziert ein kommutatives Diagramm (wobei wir die Ideale als Gitter auffassen)

${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathfrak {b}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die horizontalen Abbildungen Gruppenisomorphismen sind. Dies induzieren einen Isomorphismus von komplexen Liegruppen

${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}},$

vergleiche Fakt.

Wenn umgekehrt die elliptischen Kurven äquivalent sind, so sind nach Fakt die beiden Gitter ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ streckungsäquivalent, d.h. es gibt eine komplexe Zahl ${}r$ mit ${}r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$. Zu einem von ${}0$ verschiedenen Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ ist somit insbesondere ${}rf\in {\mathfrak {b}}\subseteq A$ und somit ist ${}r\in Q(A)$. Dies bedeutet aber bereits, dass die beiden Ideale die gleiche Idealklasse definieren.

Zur bewiesenen Aussage