Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2+y^2.$

Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die Fasern zu  $z\in {ℝ}_{-}$  leer. Die Faser zum Wert $0$ besteht aus dem einzigen Punkt $(0,0)$. Die Faser zu einem positiven Wert  $z\in {ℝ}_{+}$  ist

$\{(x,y)\mid x^2+y^2=z\},$

das ist der Kreis mit dem Radius $\sqrt{z}$. Zu jedem Punkt  $P=(x_0,y_0)\ne (0,0)$  ist die Faser (oder die Niveaumenge) durch diesen Punkt also ein Kreis $Z$. Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung $U(P,\delta )$ von $P$ enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung

$]a,b[⟶{ℝ}^2,t⟼\sqrt{x_0^2+y_0^2}(\cos t,\sin t)$

(mit geeignet gewählten Intervallgrenzen) induziert dabei eine Homöomorphie zwischen $]a,b[$ und dem Kreisbogenausschnitt $Z\cap U(P,\delta )$.